Teorema de los ejes perpendiculares

Ejes de referencia para relacionar entre sí los omentos de inercia de una placa plana

En la física, el teorema de los ejes perpendiculares se puede utilizar para determinar el momento de inercia de un objeto rígido que se encuentra totalmente dentro de un plano, alrededor de un eje perpendicular al plano, dado los momentos de inercia del objeto sobre dos ejes perpendiculares que se encuentran dentro del plano. Todos los ejes deben pasar a través de un único punto en el plano.

Definimos los ejes perpendiculares $x,y$ y $z$ (Que se reúnen en origen $O\,$ ) De manera que el cuerpo se encuentra en el plano $xy$ , y el eje $z$ es perpendicular al plano del cuerpo. Hacemos I_x, I_y y I_z momentos de inercia alrededor del eje x, y, z, respectivamente, el teorema del eje perpendicular establece que:^[1]

I_{z}=I_{x}+I_{y}\,

Esta regla se puede aplicar con el teorema de los ejes paralelos y la regla de estiramiento para encontrar momentos de inercia para una variedad de formas.

Si un objeto plano (o prisma, por la regla de estiramiento ) tiene simetría de rotación de tal manera que $I_{x}$ e $I_{y}$ son iguales, entonces el teorema de los ejes perpendiculares proporciona la relación útil:^[2]

I_{z}=2I_{x}=2I_{y}\,

Demostración

Trabajando en coordenadas cartesianas, el momento de inercia del cuerpo plano sobre el eje $z$ está dado por:^[3]

I_{z}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}

En el plano, $z=0$ , por lo que estos dos términos son los momentos de inercia sobre los ejes $x$ e $y$ respectivamente, lo que da como resultado el teorema del eje perpendicular. El inverso de este teorema también se deriva de manera similar.

Nótese que $\int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}$ porque en $\int r^{2}\,dm$ , $r$ mide la distancia desde el eje de rotación, por lo que para una rotación en el eje y, la distancia de desviación desde el eje de rotación de un punto es igual a su coordenada x.

Véase también

Referencias

↑ Paul A. Tipler (1976). «Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis». Physics. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X. (requiere registro).
↑ Obregon, Joaquin (2012). Mechanical Simmetry. Author House. ISBN 978-1-4772-3372-6.
↑ K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence (2006). «Ch. 6: Multiple Integrals». Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.

Datos: Q995926

[1] Paul A. Tipler (1976). «Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis». Physics. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X. (requiere registro).

[2] Obregon, Joaquin (2012). Mechanical Simmetry. Author House. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[3] K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence (2006). «Ch. 6: Multiple Integrals». Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-67971-8.

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